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從數學家高斯看思維
2017年01月27日
很多學生不時都來詢問筆者,如何可以提升自己的數學能力,筆者都會跟他們分享大數學家高斯(Carl Friedrich Gauss)的故事。高斯是德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家,被認為是歷史上最重要的數學家之一,並有「數學王子」的美譽。當高斯10歲時,數學老師在黑板上寫了一道難題。題目是:1+2+3+4+...+98+99+100=?

正當所有同學埋頭苦幹時,高斯沒有動筆,氣定神閒的坐著。老師看了很生氣,問高斯為何不動筆。高斯說他一眼便看出答案了。原來他從中看出首尾一一配對相加都等於101的對稱性( 1+100、2+99、... ),很快算出答案等於 5050。

Content 1數學家高斯找出答案的思考方式

高斯和其他同學的分別在哪裏?就是其他同學用平時老師所教的直線運算,把數字一個一個加起來。而高斯卻先去思考有沒有一個更方便快捷的方法去解答問題。這就是思維上的分別。

香港學生非常害怕出錯,用日常所學的方法計算不用思考,又十分保險,自然很獲青睞。但錯誤其實一點也不可怕,反而習慣機械化計算,不願思考才最可怕。學生往往在刻板的操練中,慢慢厭倦,失去對數學的興趣。

機械式計算機械式的計算使學生習慣不作思考

相反懷著好奇心去思考各種可行方法的話,解難能力必能有所提升。其實任何一題問題,背後都有著很大的探索空間。

就以「1+2+3+4+...+98+99+100=?」為例,我們剛剛了解到高斯的方法,這個方法可不可以應用到其他問題上呢?你又能找到「1+2+3+4+...+198+199+200=?」和「51+52+53+...+148+149+150=?」的答案嗎?

若果這方法可以應用在其他問題上,又可不可以以一條算式表示呢?留意解題的過程,我們可以發現答案可通過計算「(首項+尾項) × 項數 ÷ 2」獲得。

例如1+2+3+4+...+198+199+200= (1+200)×200÷2=20100

高斯2

學生接下來可以繼續思考算式可否由三角形數推廣至其他等差數列。在老師的引導下,學生可以一步一步感受到由直接計算到把算式廣義化(generalization)的過程。學生除了單方面接收數學知識外,亦可以參與其中。

雖然未必每個學生都會成為大數學家,但是筆者深信每個學生都可以學好數學的。若能懷著好奇心去尋找各種解答問題的方法,思考解答方法的延伸性,學生必能在數學這片天空下振翅飛翔。

作者簡介:

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香港多元智能教育 數學邏輯顧問
MathConcept Education創辦人

現職集團營運總監的Ms Cary,為英國著名大學University of Warwick (華威大學) 數學與商業科的一級榮譽畢業生。曾在英國學校任職數學老師,擁有豐富教學經驗。堅持透過理解概念,接通思維,啟發孩子的數學潛能。
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